JurPC Web-Dok. 155/2003 - DOI 10.7328/jurpcb/2003185142

Volker Krätschmer *

Einfache Prüfpläne für unscharfe Gut-Schlecht-Prüfungen

JurPC Web-Dok. 155/2003, Abs. 1 - 18


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Inhaltsübersicht:

Zusammenfassung
0 Einleitung
1 Elemente aus der Theorie der unscharfen Mengen (Fuzzy-Mengen)
2 Unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung
3 Einfache Prüfpläne für unscharfe Gut-Schlecht-Prüfungen
4 Einfache Zwei-Punkte-Prüfpläne für unscharfe Gut-Schlecht-Prüfungen
5 Schlussbemerkungen

Zusammenfassung

In der Praxis ist man bei Eingangs- oder Endkontrollen einer Warenpartie oft darauf angewiesen, die Entscheidung für Annahme oder Ablehnung auf Basis der Prüfung weniger ausgewählter Waren hinsichtlich vorgegebener Qualitätsmaßstäbe zu treffen. Wegen eines hohen Kostenaufwandes oder der zerstörenden Wirkung für die Waren durch die Prüfung wäre eine Totalkontrolle der gesamten Warenpartie häufig nicht opportun. Einen Spezialfall der Eingangs- und Endkontrollen stellen die sogenannten attributiven Kontrollen dar. Ihre Aufgabe besteht in einer sogenannten Gut-Schlecht-Prüfung. Ausgehend von vorgegebenen Qualitätsstandards werden die Waren als gut oder schlecht klassifiziert. Untersucht werden soll, ob die Ausschuß-Anteile bestimmte festgelegte Tolerabilitäten einhalten. Zur Durchführung attributiver Kontrollen werden dann häufig sogenannte einfache Prüfpläne eingesetzt. Statistisch läßt sich eine attributive Kontrolle als eine Messung des Anteils schlechter Waren in einer Partie beschreiben. Wie bei vielen statistischen Messungen stellt sich dabei das grundlegende Problem der Adäquation. Am Beispiel von Lebensmittel-Waren anschaulich nachvollziehbar, lassen sich nicht bei allen Gütern angemessene strikte Maßstäbe formulieren, nach denen eine Einteilung in gute und schlechte Exemplare möglich ist. So erscheint es ratsam, den Planungsspielraum für eine attributive Kontrolle zu erweitern, indem die inhaltlich inhärente Vagheit der Qualität "schlecht" bei der Festlegung des Meßkonzeptes bezogen auf die zu untersuchenden Güter jeweils spezifisch berücksichtigt wird. Der Artikel versteht sich als Beitrag, einen Rahmen für eine derartige attributive Kontrolle bereitzustellen. Ansatzpunkt bildet der Übergang von strikten zu weichen Qualitätsstandards. Damit wird allerdings auch eine komplexere Konzeption der Gut-Schlecht-Prüfung benötigt, hier unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung genannt. Für die Durchführung einer attributiven Kontrolle zu einer unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung wird das klassische Konzept des einfachen Prüfplans erweitert. Zum Abschluß wird ein Verfahren zur Auswahl geeigneter einfacher Prüfpläne vorgestellt, welches ein bekanntes klassisches adaptiert. Als wichtiges Instrumentarium werden Elemente aus der von Zadeh entwickelten Theorie der unscharfen Mengen bzw. Fuzzy-Mengen eingesetzt. Unscharfe Mengen erweisen sich als geeignete formale Objekte sowohl weiche Qualitätsstandards als auch die Messungen im Rahmen einer attributiven Kontrolle auf Basis weicher Qualitätsstandards darzustellen. Die Operationalisierungen werden dann im Rahmen der Theorie der unscharfen Mengen umgesetzt.JurPC Web-Dok.
155/2003, Abs. 1

0 Einleitung

Gegenstand dieses Artikels ist die Eingangs- oder Endkontrolle einer Warenpartie auf einen Qualitätsstandard hin. In der Theorie der "statistischen Qualitätskontrolle" spricht man auch von einer attributiven Kontrolle. Seit Jahrzehnten hat sich dafür eine formale Konzeption etabliert, zu deren Systematisierung im deutschsprachigen Raum maßgeblich Stange(1), Uhlmann(2) und Basler(3) beigetragen haben. Sie soll im folgenden veranschaulicht werden anhand des Beispiels einer Warenpartie mit Jodsalz-Packungen, die bei einem Lebensmittel-Chemie-Labor angeliefert worden sei. Überprüft werden soll, ob diese Partie für den Handel zugelassen werden kann. Dazu wird in einem ersten Schritt ein Qualitätsstandard für die Jodsalz-Packungen festgelegt. In diesem Fall ist er durch die Diätverordnung(4) vorgegeben. Darin verlangt der Gesetzgeber, daß eine Jodsalz-Packung eine Jodmenge von 15 bis 25 Milligramm pro Kilogramm Salz, oder umgerechnet 1500 bis 2500 Mikrogramm pro 100 Gramm Salz, enthalten muß. Auf Basis des Qualitätsstandards wird die Qualität der Warenpartie durch den ex ante unbekannten Anteilswertswert der Ausschuß-Waren, dem Ausschuß-Anteil, definiert. Man läßt einen gewissen Ausschuß-Anteil zu, um eventuelle technische Unzulänglichkeiten bei der Herstellung und der Messung auszugleichen. Allerdings darf der Anteilswert einen bestimmten vorher festzulegenden Toleranzwert nicht überschreiten. Die Prüfaufgabe besteht also darin, zu untersuchen, ob die Qualität der Warenpartie den Toleranzwert einhält. Da hier die Jodsalz-Packungen daraufhin überprüft werden, ob sie dem Qualitätsstandard genügen oder nicht, spricht man von einer Gut-Schlecht-Prüfung. Prinzipiell sieht sich eine Gut-Schlecht-Prüfung mit dem Problem konfrontiert, die Qualität der Warenpartie im allgemeinen nicht exakt ermitteln zu können. Dazu benötigte man eine Totalkontrolle, die aber in vielen Fällen, wie auch im Beispiel der Warenpartie mit Jodsalz-Packungen, inopportun ist, zu kostenaufwendig, oder mit zerstörerischer Wirkung verbunden. Daher entnimmt man, ohne Zurücklegen, eine Stichprobe aus der Warenpartie, wobei vorher festzulegen ist, wieviele Stücke gezogen werden sollen. Man führt dann folgendes Entscheidungsverfahren durch: Zunächst wird die Anzahl der Ausschuß-Waren in der Stichprobe gezählt. Überschreitet diese eine vorher festzulegende Annahmezahl, so sieht man darin einen empirischen Hinweis, daß die Qualität der Warenpartie nicht gut genug für eine Zulassung ist. Die Partie wird abgelehnt, d.h. an den Produzenten zurückgegeben. Im Falle, daß die Anzahl der Ausschuß-Waren in der Stichprobe die Annahmezahl nicht überschreitet, wird die Partie angenommen, d.h. an den Handel weitergeleitet. Die Durchführung einer Gut-Schlecht-Prüfung ist also formal festgelegt durch einen sogenannten Prüfplan, der sich durch den Stichprobenumfang und die Annahmezahl konstituiert. Da die Umsetzung des Prüfplans durch das oben beschriebene Entscheidungsverfahren im Anschluß an die Ziehung einer Stichprobe erfolgt, verwendet man in der Literatur den Begriff des einfachen Prüfplans, im Gegensatz zu mehrstufigen Prüfplänen, bei denen die Entscheidung, die Warenpartie anzunehmen oder abzulehnen, auf die Erhebung zusätzlicher Stichproben verschoben werden kann. Für die Intentionen dieses Artikels genügt die Behandlung attributiver Kontrollen mit einfachen Prüfplänen. Bei Betrachtung dieser skizzierten Konzeption einer attributiven Kontrolle (mit einfachen Prüfplänen) können verschiedene strategische Punkte ausgemacht werden, nämlich der Qualitätsstandard, der Toleranzwert, der Stichprobenumfang und die Annahmezahl. Die Theorie der "statistischen Qualitätskontrolle" beschäftigt sich vorwiegend mit der Erstellung geeigneter einfacher Prüfpläne, der Qualitätsstandard sowie der Toleranzwert werden als exogen gedacht. An dieser Sichtweise wird in diesem Artikel nicht gerüttelt werden. Allerdings soll das Augenmerk auf die Festsetzung eines Qualitätsstandards gerichtet werden. Hier begegnet man dem grundsätzlichen statistischen Adäquationsproblem(5): Benötigt werden quantitative Indikatoren und Grenzwerte, die den Qualitätsstandard einer Ware möglichst adäquat repräsentieren. Im Falle der Jodsalz-Packungen wird nur ein Indikator verwendet, nämlich der Jodanteil pro 100 Gramm Salz, die Grenzen sind gesetzlich vorgegeben. Die Wahl des Indikators soll nicht in Frage gestellt werden, wohl aber sollen einige Einwände gegen die Rolle der Grenzwerte vorgebracht werden. Zunächst stellt sich die Frage, wie die gesetzlichen Grenzwerte zustande kommen? Die öffentlich zugänglichen Erläuterungen(6) verweisen auf die gesundheitliche Wirkung der täglichen Jodzufuhr und sind quantitativ vage. Sie könnten ebenso angewendet werden auf knappe Abweichungen von den Grenzwerten. D.h. ein erster Einwand lautet, die Grenzziehungen in den klassischen Formulierungen von Qualitätsstandards sind oft zu willkürlich. Sie sind aber auch häufig zu strikt, da nicht zwischen geringen oder starken Abweichungen unterschieden wird. Diese Restriktivität kann potentiell zu einer unbefriedigenden Beurteilung der Qualität einer Warenpartie führen. Systematisch werden z.B. Warenpartien mit wenigen sehr schlechten Ausschuß-Stücken bevorzugt gegenüber Partien mit etwas mehr Ausschuß-Waren, die allesamt aber nur schwach schlecht sind. Aus dem Gesagten läßt sich nun der Wunsch formulieren, eine Gut-Schlecht-Prüfung so zu konzipieren, daß fließendere Qualitätsabgrenzungen vorgenommen werden können. Damit ist nun auch schon eines der Ziele dieses Artikels benannt worden. Es geht um die Bereitstellung von Möglichkeiten zur Formalisierung "weicher" Qualitätsstandards, also Maßstäbe mit fließenden Qualitätsabstufungen. Klassische Formalisierungen sollen als Spezialfälle enthalten sein. Auf Basis "weicher" Qualitätsstandards gilt es dann, die Konzeption einer attributiven Kontrolle zu entwickeln, dabei die klassische Konzeption als Spezialfall umfassend. Es wird wie folgt vorgegangen: Das wichtige Instrumentarium zur Verfolgung der Ziele ist die Theorie der unscharfen Mengen, auch Fuzzy-Mengen genannt. Mit ihnen lassen sich "weiche" Qualitätsstandards darstellen (Abschnitt 1). Danach soll die erweiterte Konzeption für eine attributive Kontrolle vorgestellt werden, indem ihre Bestandteile, nämlich die Konzepte der unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung und der einfachen Prüfpläne, nacheinander eingeführt werden (Abschnitte 2, 3). Jede attributive Kontrolle, im klassischen wie im erweiterten Rahmen, ist prinzipiell mit Fehlentscheidungen konfrontiert. Zur partiellen Risikoabsicherung hat man für die klassische Kontrolle die sogenannten Zwei-Punkte-Prüfpläne entwickelt. Sie werden in Abschnitt 4 übertragen. Der Artikel wird beendet mit einigen Schlußbemerkungen. Doch nun zunächst zum ersten der avisierten Ziele, nämlich einen "weichen" Qualitätsstandard, z.B. für Jodsalz-Packungen, zu beschreiben.Abs. 2

1 Elemente aus der Theorie der unscharfen Mengen (Fuzzy-Mengen)

Zur Anregung sollen einige Erkenntnisse aus der Ernährungslehre zur Wirkungsweise der Nährstoffaufnahme kurz wiedergegeben werden(7). Eine gute individuelle menschliche Ernährungssituation wird bestimmt durch eine möglichst ausgewogene Aufnahme von Nähr- und Inhaltsstoffen. Da die menschliche Ernährung über Lebensmittel erfolgt, die selbst eine Vielzahl von Nähr- und Inhaltsstoffen enthalten, kann im Regelfall die Aufnahme der wichtigen Nährstoffe nicht simultan optimiert werden. Die gewünschte Mehrzufuhr eines Nährstoffes über ein bestimmtes Lebensmittel kann konterkariert werden durch die gleichzeitige, unerwünschte Mehrzufuhr eines anderen Nährstoffes, der ebenfalls in dem Lebensmittel enthalten ist. D.h. jeder individuelle Ernährungszustand muß suboptimale Zufuhrmengen einzelner Nährstoffe hinnehmen. Eine Konsequenz, die daraus gezogen wird, ist die Aufgabe einer dichotomen Sichtweise von gesunder/ungesunder Wirkung der Nährstoffaufnahme hin zu Abstufungen in der gesundheitlichen Wirkung. Dementsprechend gibt es auch mehrere potentielle Gesundheitsbereiche für die ceteris paribus Aufnahme eines Nährstoffes:Abs. 3

Gesundheitszustand bei Variation der Aufnahme eines einzelnen Nährstoffes und Konstanz der restlichen Ernährung(8)
Im Optimalbereich ist die Nährstoffversorgung gut bis sehr gut. Sie ist in den Marginalbereichen, bei etwas zu geringer oder etwas zu hoher Dosis, weder richtig gesund noch ganz ungesund, sie ist akzeptabel. Bei deutlich zu geringer Dosierung können Mängelerscheinungen oder sogar Gesundheitsgefährdungen auftreten. Eine viel zu hohe Zufuhrmenge kann toxische oder sogar gesundheitlich gefährliche Wirkungen zeigen. Ein solches Diagramm kann nun interpretiert werden als eine Kurve für die optimale Nährstoffzufuhr:Abs. 4
Der Grad der Gesundheit wird dabei, in Abhängigkeit von der Zufuhrmenge, auf einer Skala von Null bis Eins abgetragen. Je höher der Grad, desto besser die gesundheitliche Wirkung der entsprechenden Zufuhrmenge. In der Tat sind, z.B. von der Firma Albat + Wirsam, solche Kurven für die verschiedenen Nährstoffe, u.a. auch Jod, entwickelt worden. Sie haben sogar Eingang gefunden in die Ernäh-rungsberatung der Deutschen Gesellschaft für Ernährung (DGE). Mit solchen Kurven für die optimale Nährstoffaufnahme liegt auch schon der Prototyp für das mathematische Objekt der unscharfen Menge vor. Eingeführt wurde das Konzept durch Lofti Zadeh(9). Eine unscharfe Menge oder Fuzzy-Menge wird charakterisiert durch den Graph einer Funktion mit Ordinatenwerten im Einheitsintervall. Die Funktion heißt Zugehörigkeitsfunktion, die Ordinatenwerte werden Zugehörigkeitsgrade genannt. Im Falle der Nährstoffaufnahme werden die Zugehörigkeitsgrade als Gesundheits-Grade interpretiert. Über den Definitionsbereich der Zugehörigkeitsfunktion wird eine unscharfe Menge immer auch an eine Referenzmenge gebunden, der sogenannten Universalmenge. Unscharfe Mengen stellen konzeptionelle Erweiterungen des klassischen Konzeptes von Mengen dar, lassen diese sich doch jeweils eindeutig charakterisieren durch Zugehörigkeitsfunktionen, die nur die Zahlen Null und Eins als Werte annehmen; ein Element der Universalmenge erhält Zugehörigkeitsgrad Eins, falls es in der entsprechenden Menge enthalten ist, andernfalls den Zugehörigkeitsgrad Null. Die Erkenntnisse aus der Ernährungslehre sollen nun übertragen werden auf die Festlegung von Qualitätsstandards. Als Vorschlag kristallisiert sich heraus, eine eventuell zu strikte Einteilung in gute und schlechte Waren durch Qualitätsabstufungen zu ersetzen. So bemißt sich z.B. die Qualität von Jodsalz-Packungen nach ihrem Jodanteil, der adäquat sein soll im Hinblick auf die gesundheitliche Wirkung der Jodzufuhr. Wenn aber in der Ernährungslehre Abstufungen in der gesundheitlichen Wirkung vorgenommen werden, so liegt es nahe, auf diese Weise auch bei der Festlegung eines Qualitätsstandards für Jodsalz-Packungen vorzugehen. Analog zur Beschreibung der optimalen Nährstoffaufnahme steht mit dem Begriff der unscharfen Menge ein Instrument zur Verfügung, Qualitätsabstufungen darzu-stellen. In Abhängigkeit von der Jodanteilsmenge könnte ein solcher "weicher" Qualitätsstandard folgende Gestalt annehmenAbs. 5
Die Zugehörigkeitsgrade werden interpretiert als Güte-Grade, je höher, desto besser die entsprechende Jodanteilsmenge. Werte innerhalb der gesetzlichen Grenzen sind sehr gut, also Zugehörigkeitsgrad Eins. Je weiter eine Jodanteilmenge von den gesetzlichen Grenzen entfernt liegt, desto schlechter ist sie. Im Rahmen einer attributiven Kontrolle interessiert man sich allerdings nicht für gute, sondern für schlechte Jodsalz-Packungen. In dieser Hinsicht kann man den "weichen" Qualitätsstandard umformulieren, indem die Kurve auf den Kopf gestellt wird.Abs. 6
Formal liegt wieder eine unscharfe Menge vor. Die Zugehörigkeitsgrade werden nun aber als Makelgrade interpretiert, je höher, desto schlechter die entsprechende Jodanteilsmenge. Im Hinblick auf den gesetzlichen Qualitätsmaßstab läßt sich eine schlechte Jodanteilsmenge (also auch eine schlechte Jodsalz-Packung) durch folgende unscharfe Menge beschreiben.Abs. 7
Jodanteilsmengen innerhalb der gesetzlichen Grenzen sind sicher gut, also Makel-Grad Null; außerhalb der Grenzen sind sie sicher schlecht, also Makel-Grad Eins. Diese unscharfe Menge beschreibt also nichts anderes als die Teilmenge aller Jodmengenwerte außerhalb der gesetzlichen Grenzen. Ein Vergleich des weichen mit dem gesetzlichen Qualitätsstandard legt nahe, letzteren als strikt zu bezeichnen. Denn er unterscheidet nur zwischen Abweichung oder Nicht-Abweichung von den Grenzwerten, berücksichtigt aber nicht die Größe der Abweichung. Genau das leistet aber der "weiche" Qualitätsstandard, der insbesondere auch einen Maßstab festlegt, was unter einer knappen oder starken Abweichung von den gesetzlichen Grenzwerten zu verstehen sei. Allgemein soll nun unter einem weichen Qualitätsstandard eine unscharfe Menge verstanden werden, die aus vorgegebenen Indikatoren gebildet wird. Die Zugehörigkeitsgrade werden als Makel-Grade interpretiert, je höher, desto schlechter die Qualität. Beim weichen Qualitätsstandard von Jodsalz-Packungen wurde nur ein Indikator verwendet. Wird die Qualität einer Ware durch mehrere Indikatoren charakterisiert, so ist die Festlegung einer geeigneten unscharfen Menge ebenso möglich. Zur Demonstration benötigte man allerdings weitere Elemente aus der Theorie der unscharfen Mengen. Jedoch soll hier nicht näher darauf eingegangen werden. Denn für die weitere Argumentation bleibt unerheblich, wie der weiche Qualitätsstandard gebildet wird, er wird als exogen vorgegeben betrachtet. Weitere Elemente aus der Theorie der unscharfen Mengen sollen allerdings vorgestellt nach der Maßgabe, eine attributive Kontrolle auf Basis weicher Qualitätsstandards entwickeln zu können. Zunächst soll eine spezielle Klasse von unscharfen Mengen vorgestellt werden, die im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle spielen, die rechtstreppenförmigen unscharfen Mengen.Abs. 8
Eine rechtstreppenförmige unscharfe Menge ist verbunden mit der Menge der reellen Zahlen als Universalmenge, die Zugehörigkeitsfunktion besitzt eine einzige Stelle mit Zugehörigkeitsgrad Eins und bewegt sich rechts davon in endlich vielen Stufen abwärts. Läßt man die Treppenstufen weg, so bleibt nur der Gipfel, und man erhält die entsprechende reelle Zahl, aufgefaßt als einpunktige Teilmenge, in Form einer rechtstreppenförmigen unscharfen Menge. Weiterhin werden noch Operationen mit unscharfen Mengen benötigt, genauer die Addition und die Skalarmultiplikationen mit nichtnegativen Skalaren. Definiert werden diese Operationen durch Anwendung des sogenannten Erweiterungsprinzips nach Zadeh(10). Auf technische Details kann hier verzichtet werden, da sie nicht von Belang sind für die weitere Argumentation. Zum Abschluß dieses kurzen Abstechers in die Theorie der unscharfen Mengen sollen nun noch Ordnungsbeziehungen zwischen reellen Zahlen auf rechtstreppenförmige unscharfen Mengen übertragen werden.Abs. 9
à kleiner oder gleich .
Eine rechtstreppenförmige unscharfe Menge à heißt kleiner oder gleich einer unscharfen Menge , wenn sich die Treppe von immer oberhalb der von à bewegt. Sind die unscharfen Mengen darüber hinaus verschieden, so soll à kleiner als genannt werden. Offensichtlich werden mit diesen Konzepten jeweils die Kleiner-Gleich- und die Kleiner-Beziehung zwischen reellen Zahlen übertragen. Allerdings muß darauf hingewiesen werden, daß die Literatur noch weitere Vorschläge bereitstellt, die diese Ordnungsbeziehungen von den reellen Zahlen auf die rechtstreppenförmigen unscharfen Mengen erweitern(11). Die hier getroffene Wahl begründet sich damit, für diese Ordnungsbeziehungen im Rahmen der, noch zu entwickelnden, attributiven Kontrolle eine sehr suggestive und nützliche Interpretation zu erhalten. Doch dazu später. An dieser Stelle sind nun die Elemente beisammen, um mit der Verfolgung der angekündigten Ziele fortzufahren. Als nächstes geht es um die Beschreibung der Prüfaufgabe einer attributiven Kontrolle auf Basis eines weichen Qualitätsstandards. Angestrebt wird, das Konzept der Gut-Schlecht-Prüfung zu übertragen.Abs. 10

2 Unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung

Wird für die Eingangs- oder Endkontrolle einer Warenpartie ein weicher Qualitätsstandard zugrunde gelegt, so induziert dieser in folgender Weise eine virtuelle Einteilung der Warenpartie in hierarchische Makel-Klassen (α aus dem Einheitsintervall ohne die Null):Abs. 11
Gibt man sich z.B. bei einer Warenpartie mit Jodsalz-Packungen eine Höhenlinie zum positiven Wert α aus dem Einheitsintervall vor, so kann man alle diejenigen Jodsalz-Packungen zusammenfassen, deren Jodanteilsmengen jeweils mit einem Makel-Grad versehen sind, der die Höhenlinie mindestens erreicht. Hierarchisch heißt die Einteilung, da sie mit absteigendem Makel-Niveau ineinander enthalten sind. Insbesondere enthält eine Makel-Klasse weniger Stücke je höher das zugehörige Mindest-Makel-Niveau ist. Da sich nur endlich viele Jodsalz-Packungen in einer Warenpartie befinden, existieren faktisch nur endlich viele verschiedene Makel-Klassen. In folgender Graphik wird beispielhaft nur von drei verschiedenen Makel-Klassen ausgegangen.Abs. 12
Soll eine Kontrolle auf Basis des gesetzlichen Qualitätsstandards durchgeführt werden, so erhält man nur eine einzige Makel-Klasse, nämlich die Menge der schlechten Jodsalz-Packungen. Ex ante ist die Einteilung der Warenpartie in hierarchische Makel-Klassen unbekannt. An dieser Stelle dient sie der Aufgabenbeschreibung einer attributiven Kontrolle auf Basis des vorgegebenen weichen Qualitätsstandards. Denn die Qualität der Warenpartie läßt sich nun charakterisieren durch die simultanen Ausschuß-Anteile zu den verschiedenen Makel-Klassen. Intuitiv besteht dann die Prüfaufgabe darin, zu kontrollieren, ob diese Anteilswerte simultan tolerable Obergrenzen einhalten. Im Falle des strikten Qualitätsmaßstabes gelangt man auf diese Weise wieder in das Fahrwasser der klassischen Gut-Schlecht-Prüfung. Nun soll die intuitive Aufgabenbeschreibung der attributiven Kontrolle in das formale Konzept der unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung umgesetzt werden. Unter technischen Gesichtspunkten gelingt dies leicht mit den bereitgestellten Elementen aus der Theorie der unscharfen Mengen. Definitorisch besteht eine unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung aus einer nichtleeren endlichen Menge Ω, der zu untersuchenden Warenpartie, dem weichen Qualitätsstandard, der Qualität der Warenpartie, dem Parameterraum, dem unscharfen Toleranzwert sowie der Prüfhypothese. Die Qualität der Warenpartie ist ex ante unbekannt und wird formal als ein Parameter in Form einer rechtstreppenförmigen unscharfen Menge definiert. Die Stellen, an denen die Treppenform Sprünge macht, sind gerade die Anteilswerte der Makel-Klassen. D.h. dieser Parameter ist die Gestalt, in der die Ausschuß-Anteile zu den verschiedenen Makel-Klassen formal gebündelt werden. Durch Angabe eines Parameterraumes können Eingrenzungen bzgl. der hypothetischen Gestalt der unbekannten Qualität der Warenpartie vorgenommen werden. Strukturell ist die Qualität der Warenpartie eine rechtstreppenförmige unscharfe Menge mit Sprungstellen aus der Menge aller Brüche i/N, wobei i alle ganzen Zahlen von Null bis N durchläuft und N die Anzahl der Elemente in der Warenpartie bezeichne, denn die Ausschußanteile der Makel-Klassen sind gerade in dieser Menge enthalten. Der Parameterraum faßt also alle hypothetischen Qualitäten zusammen. Unter diesen wählt man den unscharfen Toleranzwert aus, eine unscharfe Menge , die bezüglich der eingeführten Kleiner-Gleich-Beziehung zwischen rechtstreppenförmigen unscharfen Mengen als Toleranzwert fungieren soll. D.h. die Prüfhypothese wird festgelegt durch die Menge , in der alle hypothetischen Qualitäten der Warenpartie enthalten sind, die den unscharfen Toleranzwert nicht überschreiten. Praktisch bedeutet die Erstellung der Prüfhypothese, endlich viele Makel-Klassen als relevant auszuwählen und ihren Anteilswerten simultan Obergrenzen zu setzen. Mit dem Konzept der unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung ist die Möglichkeit geschaffen worden, die Aufgabe einer attributiven Kontrolle gegenüber der klasssischen Konzeption flexibler und angemessener zu beschreiben. Durch einen weichen Qualitätsstandard kann eine Abstufung in der Minder-Qualität von Waren eingeführt werden. Mit der Wahl eines unscharfen Toleranzwertes und damit verbundener Prüfhypothese können Akzente gesetzt werden, was als tolerable Qualität der Warenpartie gelten soll. Im Gegensatz zu klassischen Gut-Schlecht-Prüfungen könnte man z.B. mehr schwach schlechte zulassen, und dafür weniger stark schlechte.Abs. 13

3 Einfache Prüfpläne für unscharfe Gut-Schlecht-Prüfungen

Nachdem das Konzept der unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung zur Aufgabenbeschreibung einer attributiven Kontrolle auf Basis eines weichen Qualitätsstandards eingeführt worden ist, geht es nun darum, eine attributive Kontrolle bezüglich einer unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung durchzuführen. Den Ansatzpunkt bildet dabei die Einteilung der Warenpartie in hierarchische Makel-Klassen durch den weichen Qualitätsstandard. Es wird eine Stichprobe ohne Zurücklegen erhoben, wobei vorher ein Stichprobenumfang festzulegen ist, der die Gesamtzahl der Waren in der Partie nicht überschreiten darf. Intuitiv gesprochen wird dann zu jeder Makel-Klasse der Anzahl ihrer Elemente in der Stichprobe eine tolerable Obergrenze gesetzt. Die Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Warenpartie erfolgt dann analog zur klassischen attributiven Kontrolle: Die Warenpartie wird genau dann angenommen, wenn zu jeder Makel-Klasse die Anzahl ihrer Elemente in der Stichprobe die tolerable Obergrenze einhält. Diese intuitive Vorstellung soll nun formalisiert werden. Zur Operationalisierung benötigt man eine Meßvariable, mit der einzelne Stücke auf den vorgegebenen Qualitätsstandard hin untersucht werden. Liegt ein klassischer strikter Qualitätsstandard, wie z.B. der gesetzliche Standard für Jodsalz-Packungen, vor, so bietet sich in quasi natürlicher Weise die Meßvariable an, die den Ausschuß-Stücken in der Warenpartie die Eins, den anderen die Null zuordnet. Bei einer Totalerhebung ergäbe sich die Qualität der Warenpartie als Durchschnittswert dieser Meßvariablen. Darüber hinaus läßt sich die Durchführung einer klassischen attributiven Kontrolle mittels eines einfachen Prüfplans so beschreiben, daß man eine Stichprobe ohne Zurücklegen aus der Warenpartie zieht, die Meßvariable auf diese Stücke anwendet und die Meßwerte aufsummiert. Die Warenpartie wird genau dann angenommen, wenn die Summe der Meßwerte die festgelegte Annahmezahl nicht überschreitet. Im Falle eines weichen Qualitätsmaßstabes drängt sich nicht direkt eine geeignete Meßvariable auf. Daher soll zunächst der Umweg beschritten werden, ein kleines Anforderungsprofil für die zukünftige Meßvariable zu erstellen. Das Anforderungsprofil orientiert sich in Analogie-Bildung an den Meßvariablen für klassische attributive Kontrollen. Zuallererst sollte die Meßvariable so beschaffen sein, daß sich bei Totalerhebung die Qualität der Warenpartie als Durchschnittswert ergibt. Da die Qualität der Warenpartie eine rechtstreppenförmige unscharfe Menge ist, liegt es nahe, Meßwerte in Form von rechtstreppenförmigen unscharfen Mengen zu fordern. Zur Durchschnittsbildung können dann die eingeführten Operationen der Addition und Skalarmultiplikationen herangezogen werden. Weiterhin sollte die proklamierte Intuition, bei Entnahme einer Stichprobe zu jeder Makel-Klasse der Anzahl ihrer Elemente in der Stichprobe eine tolerable Obergrenze zu setzen, dadurch darstellbar sein, das die Summe der Meßwerte(12) zu den entnommen Stücken eine festgelegte rechtstreppenförmige unscharfe Menge bezüglich der eingeführten Kleiner-Gleich-Beziehung nicht überschreitet. In der Tat findet sich zu jeder unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung immer eine Meßvariable, die den formulierten Anforderungen genügt(13). Auf technische Einzelheiten kann hier verzichtet werden, es genügt die Existenz solcher Meßvariablen. Nach Einführung einer Meßvariablen zu einer unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung wird nun die intuitiv beschriebene Durchführung einer attributiven Kontrolle durch Übertragung des Konzeptes einfacher Prüfpläne für klassische Gut-Schlecht-Prüfungen formalisiert. Ein einfacher Prüfplan besteht aus einem Stichprobenumfang n, der die Anzahl der Elemente der Warenpartie nicht überschreiten darf, sowie einer rechtstreppenförmigen unscharfen Mengen , die unscharfe Annahmezahl heißt. Die Bezeichnungsweise ergibt sich aus dem Entscheidungsverfahren, das mit jedem einfachen Prüfplan (n,) verbunden ist: Die Warenpartie wird angenommen, wenn die Summe der Meßergebnisse zu den n entnommenen Stücken aus der Warenpartie die unscharfe Menge bezüglich der eingeführten Kleiner-Gleich-Beziehung nicht überschreitet; andernfalls wird die Warenpartie abgelehnt. Praktisch heißt das, mit der Festlegung der unscharfen Annahmezahl endlich viele Makel-Klassen als relevante auszuwählen und ihren Häufigkeiten in der Stichprobe simultane Obergrenzen zu setzen. Nun sind alle Bestandteile zur Konzeption einer attributiven Kontrolle auf Basis eines weichen Qualitätsstandards beisammen. Eine solche attributive Kontrolle läßt sich als ein Entscheidungsverfahren charakterisieren, modelliert durch eine unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung zur Aufgabenbeschreibung und durchgeführt mit einem einfachen Prüfplan. Formal gesehen handelt es sich dabei um einen statistischen Parameter-Test, wobei hier Parameter in Form von unscharfen Mengen vorliegen(14). Auf Einzelheiten soll aber an dieser Stelle nicht eingegangen werden. Wichtig anzumerken bleibt aber, daß sich die Konzeption einer attributiven Kontrolle bezüglich einer unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung leicht als eine Verallgemeinerung der klassischen Konzeption erkennen läßt. Zentraler Handlungsparameter bei der Planung einer attributiven Kontrolle auf Basis eines weichen Qualitätsstandards ist die Wahl eines geeigneten Prüfplans. Im folgenden soll ein Auswahlverfahren vorgestellt werden, welches das klassische Konzept der einfachen Zwei-Punkte-Prüfpläne adaptiert.Abs. 14

4 Einfache Zwei-Punkte-Prüfpläne für unscharfe Gut-Schlecht-Prüfungen

Vorgegeben sei eine unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung, bestehend aus einer Warenpartie Ω, dem Qualitätsstandard dem Parameterraum , dem unscharfen Toleranzwert und der Prüfhypothese . Die Qualität der Warenpartie entspricht dem Parameter aus dem Parameterraum . Prinzipiell ist jede attributive Kontrolle bezüglich dieser unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung mit zwei potentiellen Fehlentscheidungen konfrontiert.Abs. 15
Fehlermöglichkeiten einer attributiven Kontrolle
Entscheidung \ Qualität der Warenpartie
Annahme der WarenpartiekorrektFehler 2. Art
Ablehnung der WarenpartieFehler 1. Artkorrekt

Zum einen kann die Warenpartie angenommen werden, obwohl die Qualität der Warenpartie die Prüfhypothese nicht erfüllt. In der Terminologie der statistischen Testtheorie spricht man vom Fehler 2. Art. Zum anderen kann die Warenpartie abgelehnt werden, obwohl die Qualität der Warenpartie der Prüfhypothese genügt. In diesem Falle läge, in der Terminologie der statistischen Testtheorie, ein Fehler 1. Art vor. Wegen dieser möglichen Fehlentscheidunngen ist, anknüpfend an die statistische Testtheorie, jede attributive Kontrolle mit zwei Risiken verbunden, nämlich dem Produzenten- und dem Konsumenten-Risiko. Das Produzenten-Risiko wird definiert als die maximale relative Häufigkeit der Stichproben, die zu einem Fehler 1. Art führen, während das Konsumenten-Risiko in der maximalen relativen Häufigkeit der Stichproben besteht, mit denen man einen Fehler 2. Art begeht. Man könnte nun versuchen, einen einfachen Prüfplan auszuwählen, der beide Risiken gleichzeitig begrenzt. Leider haben aber Produzenten- und Konsumenten-Risiko die Neigung zu einem gegenläufigen Verhalten. Ein niedriges Produzenten-Risiko zieht im allgemeinen ein hohes Konsumenten-Risiko nach sich, aber auch umgekehrt. D.h. man kann nicht erhoffen, einen einfachen Prüfplan zu finden, der beide Risiken gleichermaßen beschränkt. Wohl aber kann man versuchen, sich teilweise gegen die Risiken abzusichern Was heißt das? Man könnte sich z.B. überlegen, daß der Fehler 2. Art bei einer Qualität der Warenpartie, welche die vorgegebene Tolerabilität nur knapp verfehlt, verschmerzbar ist. Dann kann man einen zweiten unscharfen Toleranzwert 0 einführen, der bezüglich der eingeführten Kleiner-Relation weiter vom ersten unscharfen Toleranzwert entfernt liegt, d.h kleiner 0.Abs. 16
Fehlermöglichkeiten einer attributiven Kontrolle
Entscheidung \ Qualität der Warenpartie ( kleiner 0)
Annahme der Warenpartiekorrektstarker Fehler 2. Art
Ablehnung der WarenpartieFehler 1. Artkorrekt

Neben dem Fehler 1. Art interessiert man sich nur noch für die gravierende Fehlentscheidung, eine Warenpartie anzunehmen, obwohl die Qualität der Warenpartie die Tolerabilität weit überschreitet. Diese Fehlentscheidung soll hier starker Fehler 2. Art (bzgl. 0) genannt werden. Unter dem starken Konsumenten-Risiko (bzgl. 0) soll dann die maximale relative Häufigkeit der Stichproben verstanden werden, mit denen man einen starken Fehler 2. Art (bzgl. 0) begeht. Nach Einführung des starken Konsumenten-Risikos bemißt sich die Eignung eines einfachen Prüfplans danach, ob er simultan gegen das Produzenten- und starke Konsumenten-Risiko absichert. Dies führt zu dem Konzept der einfachen Zwei-Punkte-Prüfpläne, welches eine Adaption der Zwei-Punkte-Prüfpläne zur partiellen Risikoabsicherung attributiver Kontrollen zu klassischen Gut-Schlecht-Prüfungen darstellt. Ein einfacher Prüfplan soll als einfacher Zwei-Punkte-Prüfplan für die unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung bezeichnet werden, wenn sein Produzenten- sowie sein starkes Konsumenten-Risiko bezüglich eines eingeführten zweiten unscharfen Toleranzwertes vorgegebene Niveaus nicht überschreiten. Es läßt sich nachweisen(15), daß immer einfache Zwei-Punkte-Prüfpläne existieren. Unter den einfachen Zwei-Punkt-Prüfplänen (bzgl. eines vorgegebenen zweiten unscharfen Toleranzwertes und festgesetzten Niveaus für Produzenten- und starkes Konsumenten-Risiko) werden solche gewählt, die minimalen Stichprobenumfang besitzen. Bei der Bestimmung der Zwei-Punkte-Prüfpläne müssen nicht alle hypothetisch möglichen einfachen Prüfpläne untersucht werden, man kann sich auf wenige relevante beschränken(16).Abs. 17

5 Schlussbemerkungen

In diesem Artikel wurde ein verallgemeinerter Rahmen für eine attributive Kontrolle von Warenpartien vorgestellt. Angelpunkt war die Darstellung eines weichen Qualitätsstandards für die Waren in Form einer unscharfen Menge. Es gelang gegenüber der klassischen Konzeption einer attributiven Kontrolle eine flexiblere und angemessenere Aufgabenbeschreibung durch das Konzept der unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung. In einem nächsten Schritt wurde das Konzept des einfachen Prüfplans eingeführt, um die Durchführung einer attributiven Kontrolle zu einer unscharfen Gut-Schlecht-Prüfung formal zu beschreiben. In diese Konzeption der attributiven Kontrolle läßt sich auch der klassische Zugang integrieren. Damit ist die Möglichkeit für einen größeren Planungsspielraum und eine sachgerechtere Operationalisierung geschaffen worden. Zur Wahl eines einfachen Prüfplans für eine unscharfe Gut-Schlecht-Prüfung wurden die einfachen Zwei-Punkte-Prüfpläne vorgestellt. Sie berücksichtigen die Risiken möglicher Fehlentscheidungen von attributiven Kontrollen und adaptieren das Konzept der einfachen Zwei-Punkte-Prüfpläne für klassische Gut-Schlecht-Prüfungen. Einfache Zwei-Punkte-Prüfpläne sind vom statistischen Standpunkt her sehr vernünftig angelegt, allerdings neigen sie, auch die klassischen, zu hohen Stichprobenumfängen. D.h. die Risikoabsicherung kann eventuell mit kostenaufwendiger oder zerstörender Kontrolle erkauft werden. Eine mögliche Verringerung der Stichprobenumfänge bei gleichzeitiger Risikokontrolle könnte durch Entwicklung mehrstufiger Prüfpläne gelingen. Doch das ist noch ein Zukunftsprojekt.
JurPC Web-Dok.
155/2003, Abs. 18

Fußnoten:

(1) Stange, K.: Die Berechnung wirtschaftlicher Pläne, Metrika 8 (1964), S. 48-82.
(2) Uhlmann, W.: Kostenoptimale Prüfpläne für die Gut-Schlecht-Prüfung, Metrika 13 (1968), S. 206-228, und das Lehrbuch: Uhlmann, W.: Statistische Qualitätskontrolle, Stuttgart 1982 (2. Auflage).
(3) Basler, H.: Bestimmung kostenoptimaler Prüfpläne mittels des Mini-Max-Prinzips, Metrika 12 (1967/68), S. 115- 154.
(4) Anlage 4 zu § 11a der Diätverordnung-DiätVO
(5) Cf. Hartwig, H.: Naturwissenschaftliche und sozialwissenschaftliche Statistik, Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft 112 (1956), S. 252-266; Menges, G.: Die statistische Adäquation, Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik 197 (1982); S. 289-307; Grohmann, H.: Vom theoretischen Konstrukt zum statistischen Begriff. Das Adäquationsproblem, Allgemeines Statistisches Archiv 69 (1985), S. 1-15.
(6) Z.B.: "Die alimentäre Jodversorgung über jodiertes Speisesalz bzw. damit hergestellte Erzeugnisse ist durch die gesetzlich festgelegte Höchstmengenregelung (15-25 mg Jod/kg Salz) so ausgelegt, dass selbst bei vollständigem Ersatz von herkömmlichem Speisesalz durch Jodsalz allenfalls die von der Deutschen Gesellschaft für Ernährung e.V. empfohlene Zufuhrmenge von 200 mg Jod pro Tag erreicht werden kann." Zitiert nach: Bundesinstitut für gesundheitlichen Verbraucherschutz und Veterinärmedizin (bgvv): Toxikologische und ernährungsphysiologische Aspekte der Verwendung von Mineralstoffen und Vitaminen in Lebensmitteln. Teil I Mineralstoffe (einschließlich Spurenelemente), S. 23/24, Berlin 18. Januar 2002, http://www.lebensmittelmeister.de/Informatives/BgVV/mineralstoffe.pdf
(7) Cf. Wirsam, B.: Anwendung der Fuzzy-Theorie in der Ernährung, in: Anwendungssymposium der Fuzzy-Neuro Initiative NRW: Neue Produkte und Anwendungen, Tagungsband der Fuzzy-Neuro Initiative NRW, Aachen 1997.
(8) Cf. Wirsam, a.a.O.
(9) Zadeh, L. A.: Fuzzy Sets, Information and Control 8 (1965), S. 338-353.
(10) Cf.. Zadeh, L.A.: The Concept of a Linguistic Variable and its Applications to Approximate Reasoning I, Information Sciences 8 (1975), S. 199-249.
(11) Cf. z.B. Fodor, J./Roubens, M.: Fuzzy preference modelling and mulitcriteria support, Dordrecht 1994; Rommelfanger, H.: Fuzzy Decision Support-Systeme, Berlin 1994 ; Gil, M. A./Lopez-Diaz, M.: Fundamentals and Bayesian analysis of decision problems with fuzzy-valued utilities, Journal of Approximate Reasoning 15 (1996), S. 203-224.
(12) Hier gelangt wieder die eingeführte Operation der Addition zur Anwendung.
(13) Zu einer allgemeinen Darstellung, solche Meßvariablen auf die mathematisch einfachst mögliche Weise zu erstellen, cf. Krätschmer, V.: A generalized framework of sampling inspections by attributes, eingereicht bei Statistical Papers.
(14) Cf. Krätschmer, V.: a.a.O.
(15) Cf. Krätschmer,, V.: a.a.O.
(16) Cf. Krätschmer,, V.: a.a.O.
* Dr. Volker Krätschmer ist Privatdozent für Statistik und Ökonometrie and der Rechts- und Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität des Saarlandes. Seine Forschungsschwerpunkte sind Statistik mit impräzisen Daten, Entscheidungstheorie mit impräzisen Wahrscheinlichkeiten und Statistische Qualitätskontrolle.
[online seit: 19.05.2003]
Zitiervorschlag: Autor, Titel, JurPC Web-Dok., Abs.

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